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【转载】高考数学课时分层训练(70) 不等式的证明  

2018-04-16 20:24:01|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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课时分层训练(七十) 不等式的证明

1.已知定义在R上的函数f(x)|x1||x2|的最小值为a.

(1)a的值;

(2)pqr是正实数,且满足pqra,求证:p2q2r23.

[] (1)因为|x1||x2||(x1)(x2)|3

当且仅当-1x2时,等号成立,

所以f(x)的最小值等于3,即a3.        4

(2)证明:法一:(1)pqr3,且pqr大于0

(pqr)29.

又易知p2q2r2pqprqr.        8

9(pqr)2p2q2r22pq2pr2qr3(p2q2r2)

因此,p2q2r23.        10

法二:(1)pqr3,又因为pqr是正实数,

所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29

p2q2r23.10

2(2015·湖南高考)a>0b>0,且ab=+.证明:

(1)ab2

(2)a2a<2b2b<2不可能同时成立.

[证明] ab=+=,a>0b>0,得ab1.    2

(1)由基本不等式及ab1,有ab22,即ab2.    5

(2)假设a2a<2b2b<2同时成立,则由a2a<2a>0,得0<a<1

同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab1矛盾.

a2a<2b2b<2不可能同时成立.    10

3(2014·全国卷Ⅰ)a>0b>0,且+=.

(1)a3b3的最小值;

(2)是否存在ab,使得2a3b6?并说明理由.

[] (1)由=+,得ab2,当且仅当ab=时等号成立.

        2

a3b324,当且仅当ab=时等号成立.

所以a3b3的最小值为4.        5

(2)(1)知,2a3b4.

由于4>6,从而不存在ab,使得2a3b6.    10

4(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)|x||x1|.

(1)f(x)|m1|恒成立,求实数m的最大值M

(2)(1)成立的条件下,正实数ab满足a2b2M,证明:ab2ab.

【导学号:01772449

[] (1)f(x)|x||x1||x(x1)|1

当且仅当0x1时取等号,

f(x)|x||x1|的最小值为1.3

要使f(x)|m1|恒成立,只需|m1|1

0m2,则m的最大值M2.        5

(2)证明:(1)知,a2b22

a2b22ab,知ab1.

ab2,则(ab)2ab.        8

由①知,1.

ab2ab.        10

5.已知函数f(x)k|x3|kR,且f(x3)0的解集为[1,1]

(1)k的值;

(2)abc是正实数,且++=1.

求证:a2b3c9.

【导学号:01772450

[] (1)因为f(x)k|x3|

所以f(x3)0等价于|x|k        2

|x|k有解,得k0,且解集为[kk]

因为f(x3)0的解集为[1,1]

因此k1.        5

(2)证明:由(1)知++=1,因为abc为正实数.

所以a2b3c(a2b3c)

3+++

32229.    8

当且仅当a2b3c时等号成立.

因此a2b3c9.        10

6(2017·福州质检)已知函数f(x)|x1|.

(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M

(2)abM,证明:f(ab)f(a)f(b)

[] (1)①当x1时,原不等式可化为-x1<-2x2,解得x<-12

②当-1x<-时,原不等式可化为x1<-2x2,解得x<-1,此时原不等式无解;

③当x-时,原不等式可化为x12x,解得x1.

综上,M{x|x<-1x1}.        5

(2)证明:因为f(a)f(b)|a1||b1||a1(b1)||ab|

        6

所以,要证f(ab)f(a)f(b),只需证|ab1||ab|

即证|ab1|2|ab|2

即证a2b22ab1a22abb2        8

即证a2b2a2b210,即证(a21)(b21)0.

因为abM,所以a21b21,所以(a21)(b21)0成立,

所以原不等式成立.        10

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